Fórmula de distribución binomial

Fórmula para calcular la distribución binomial

La fórmula de distribución binomial se usa para calcular la probabilidad de obtener x éxitos en los n ensayos del experimento binomial que son independientes y la probabilidad se deriva de la combinación entre el número de ensayos y el número de éxitos representado por nCx se multiplica por la probabilidad del éxito obtenido a la potencia del número de éxitos representado por px que se multiplica por la probabilidad del fracaso elevado a la potencia de la diferencia entre el número de éxitos y el número de intentos representados por (1-p) nx.

La probabilidad de obtener x éxitos en n ensayos independientes de un experimento binomial viene dada por la siguiente fórmula de distribución binomial:

P (X) = n C x px (1-p) nx

donde p es la probabilidad de éxito

En la ecuación anterior, se usa n C x , que no es más que una fórmula de combinaciones. La fórmula para calcular combinaciones se da como n C x = n! / ¡X! (nx)!  donde n representa el número de elementos (ensayos independientes) y x representa el número de elementos que se eligen a la vez (éxitos).

En el caso de n = 1 en una distribución binomial, la distribución se conoce como distribución de Bernoulli. La media de una distribución binomial es np. La varianza de la distribución binomial es np (1-p).

Cálculo de la distribución binomial (paso a paso)

El cálculo de la distribución binomial se puede derivar mediante los siguientes cuatro pasos simples:

  • Paso 1: Calcule la combinación entre el número de intentos y el número de éxitos. La fórmula para n C x es donde n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Para un número n, el factorial de n se puede escribir como, n! = n * (n-1)! Por ejemplo, ¡5! es 5 * 4 * 3 * 2 * 1
  • Paso 2: Calcule la probabilidad de éxito elevada a la potencia del número de éxitos px.
  • Paso 3: Calcule la probabilidad de fracaso elevada a la potencia de la diferencia entre el número de éxitos y el número de intentos. La probabilidad de falla es 1-p. Por tanto, esto se refiere a obtener (1-p) nx
  • Paso 4: averigüe el producto de los resultados obtenidos en el Paso 1, Paso 2 y Paso 3.

Ejemplos

Puede descargar esta plantilla de Excel de fórmula de distribución binomial aquí - Plantilla de Excel de fórmula de distribución binomial

Ejemplo 1

El número de intentos (n) es 10. La probabilidad de éxito (p) es 0.5. Haz el cálculo de la distribución binomial para calcular la probabilidad de obtener exactamente 6 éxitos.

Solución:

Utilice los siguientes datos para el cálculo de la distribución binomial.

El cálculo de la distribución binomial se puede realizar de la siguiente manera,

P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6

                = (10! / 6! (10-6)!) * 0.015625 * (0.5) 4

               = 210 * 0.015625 * 0.0625

La probabilidad de obtener exactamente 6 éxitos  será-

P (x = 6) = 0,205

La probabilidad de obtener exactamente 6 éxitos es 0,2051

Ejemplo # 2

Un gerente de una compañía de seguros revisa los datos de las pólizas de seguros vendidas por los vendedores de seguros que trabajan para él. Encuentra que el 80% de las personas que compran un seguro de automóvil son hombres. Quiere averiguar que si se seleccionan al azar 8 propietarios de seguros de automóviles, ¿cuál sería la probabilidad de que exactamente 5 de ellos sean hombres?

Solución: Primero tenemos que averiguar qué son n, p y x.

El cálculo de la distribución binomial se puede realizar de la siguiente manera,

P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5

               = (8! / 5! (8-5)!) * 0.32768 * (0.2) 3

              = 56 * 0,32768 * 0,008

La probabilidad de exactamente 5 éxitos  será-

P (x = 5) = 0,14680064

La probabilidad de que exactamente 5 propietarios de seguros de automóviles sean hombres es de 0,14680064.

Ejemplo # 3

La gerencia del hospital está entusiasmada con la introducción de un nuevo medicamento para el tratamiento de pacientes con cáncer, ya que la probabilidad de que una persona sea tratada con éxito es muy alta. La probabilidad de que un paciente sea tratado con éxito con el fármaco es de 0,8. El medicamento se administra a 10 pacientes. Encuentre la probabilidad de que 9 o más pacientes sean tratados con éxito por él.

Solución: Primero tenemos que averiguar qué es n, p y x.

Tenemos que encontrar la probabilidad de que 9 o más pacientes sean tratados con éxito por él. Por lo tanto, se trata con éxito a 9 o 10 pacientes

x (número para el que tiene que encontrar la probabilidad) = 9 o x = 10

Tenemos que encontrar P (9) y P (10)

El cálculo de la distribución binomial para encontrar P (x = 9) se puede hacer de la siguiente manera,

P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9

               = (10! / 9! (10-9)!) * 0.134217728 * (0.2)

               = 10 * 0,134217728 * 0,2

La probabilidad de 9 pacientes  será-

P (x = 9) = 0,2684

El cálculo de la distribución binomial para encontrar P (x = 10) se puede hacer de la siguiente manera,

P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10

                  = (10! / 10! (10-10)!) * 0.107374182 * (0.2) 0

                  = 1 * 0,107374182 *

La probabilidad de 10 pacientes  será-

P (x = 10) = 0,1074

Por lo tanto, P (x = 9) + P (x = 10) = 0.268 + 0.1074

= 0.3758

Por tanto, la probabilidad de que 9 o más pacientes sean tratados con el fármaco es de 0,375809638.  

Calculadora de distribución binomial

Puede utilizar la siguiente calculadora de distribución binomial.

norte
pags
X
Fórmula de distribución binomial =
 

Fórmula de distribución binomial =n C x * px * (1 -p) nx
0 C 0 * 0 0 * (1- 0) 0-0 =0

Relevancia y uso

  • Solo hay dos resultados
  • La probabilidad de cada resultado permanece constante de un ensayo a otro.
  • Hay un número fijo de ensayos.
  • Cada ensayo es independiente, es decir, mutuamente excluyente de los demás.
  • Nos proporciona la distribución de frecuencia del número posible de resultados exitosos en un número dado de ensayos donde cada uno de estos ensayos dados tiene la misma probabilidad de éxito.
  • Cada ensayo en un experimento binomial puede dar como resultado solo dos resultados posibles. Por tanto, el nombre es 'binomio'. Uno de estos resultados se conoce como éxito y el otro como fracaso. Por ejemplo, las personas enfermas pueden responder a un tratamiento o no.
  • De manera similar, cuando lanzamos una moneda, solo podemos tener dos tipos de resultados: cara o cruz. La distribución binomial es una distribución discreta utilizada en estadística, que es diferente de una distribución continua.

Un ejemplo de un experimento binomial es lanzar una moneda, digamos tres veces. Cuando lanzamos una moneda, solo son posibles 2 resultados: cara y cruz. La probabilidad de cada resultado es 0,5. Dado que la moneda se lanza tres veces, el número de intentos se fija en 3. La probabilidad de cada lanzamiento no se ve influenciada por otros lanzamientos.

La distribución binomial encuentra sus aplicaciones en las estadísticas de las ciencias sociales. Se utiliza para desarrollar modelos para variables de resultado dicotómicas donde hay dos resultados. Un ejemplo de esto es si los republicanos o los demócratas ganarían las elecciones.

Fórmula de distribución binomial en Excel (con plantilla de Excel)

Saurabh aprendió sobre la ecuación de distribución binomial en la escuela. Quiere discutir el concepto con su hermana y hacer una apuesta con ella. Pensó que lanzaría una moneda imparcial 10 veces. Quiere apostar $ 100 para obtener exactamente 5 cruces en 10 lanzamientos. Para el propósito de esta apuesta, quiere calcular la probabilidad de obtener exactamente 5 cruces en 10 lanzamientos.

Solución: Primero tenemos que averiguar qué es n, p y x.

Hay una fórmula incorporada para la distribución binomial es Excel, que es

Es BINOM.DIST (número de éxitos, ensayos, probabilidad de éxito, FALSO).

Para este ejemplo de la distribución binomial sería:

= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) donde la celda B2 representa el número de éxitos, la celda B3 representa el número de intentos y la celda B4 representa la probabilidad de éxito.

Por tanto, el cálculo de la Distribución Binomial será-

P (x = 5) = 0,24609375

La probabilidad de obtener exactamente 5 cruces en 10 lanzamientos es 0.24609375

Nota: FALSO en la fórmula anterior denota la función de masa de probabilidad. Calcula la probabilidad de que haya exactamente n éxitos de n ensayos independientes. VERDADERO denota la función de distribución acumulativa. Calcula la probabilidad de que haya como máximo x éxitos de n ensayos independientes.