Distribución exponencial

¿Qué es la distribución exponencial?

La distribución exponencial se refiere a la distribución de probabilidad continua y constante que en realidad se usa para modelar el período de tiempo que una persona debe esperar antes de que ocurra el evento dado y esta distribución es una contraparte continua de una distribución geométrica que en cambio es distinta.

Fórmula de distribución exponencial

Se dice que una variable aleatoria continua x (con parámetro de escala λ> 0) tiene una distribución exponencial solo si su función de densidad de probabilidad se puede expresar multiplicando el parámetro de escala a la función exponencial del parámetro de escala negativo yx para todo x mayor que o igual a cero, de lo contrario, la función de densidad de probabilidad es igual a cero.

Matemáticamente, la función de densidad de probabilidad se representa como,

tal que la media es igual a 1 / λ y la varianza es igual a 1 / λ2.

Cálculo de la distribución exponencial (paso a paso)

  • Paso 1: En primer lugar, trate de averiguar si el evento en consideración es de naturaleza continua e independiente y ocurre a una velocidad aproximadamente constante. Cualquier evento práctico asegurará que la variable sea mayor o igual a cero.
  • Paso 2: A continuación, determine el valor del parámetro de escala, que es invariablemente el recíproco de la media.
    • λ = 1 / media
  • Paso 3: Luego, multiplique el parámetro de escala λ y la variable x y luego calcule la función exponencial del producto multiplicada por menos uno, es decir, e– λ * x.
  • Paso 4: Finalmente, la función de densidad de probabilidad se calcula multiplicando la función exponencial y el parámetro de escala.

Si la fórmula anterior es cierta para todo x mayor o igual a cero, entonces x es una distribución exponencial.

Ejemplo

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Tomemos el ejemplo, x, que es la cantidad de tiempo que tarda (en minutos) un empleado de oficina en entregar desde el escritorio del gerente al escritorio del empleado. Se supone que la función del tiempo empleado tiene una distribución exponencial con una cantidad de tiempo promedio igual a cinco minutos.

Dado que x es una variable aleatoria continua desde que se mide el tiempo.

Promedio, μ = 5 minutos

Por lo tanto, parámetro de escala, λ = 1 / μ = 1/5 = 0.20

Por lo tanto, la función de probabilidad de distribución exponencial se puede derivar como,

f (x) = 0,20 e - 0,20 * x

Ahora, calcule la función de probabilidad a diferentes valores de x para derivar la curva de distribución.

Para x = 0

La función de probabilidad de distribución exponencial para x = 0 será,

De manera similar, calcule la función de probabilidad de distribución exponencial para x = 1 ax = 30

  • Para x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
  • Para x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
  • Para x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
  • Para x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
  • Para x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
  • Para x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
  • Para x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
  • Para x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
  • Para x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
  • Para x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
  • Para x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
  • Para x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
  • Para x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
  • Para x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
  • Para x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
  • Para x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
  • Para x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
  • Para x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
  • Para x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
  • Para x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
  • Para x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
  • Para x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
  • Para x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
  • Para x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
  • Para x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
  • Para x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
  • Para x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
  • Para x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
  • Para x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
  • Para x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
  • Para x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Hemos derivado la curva de distribución de la siguiente manera,

Relevancia y uso

Aunque el supuesto de una tasa constante rara vez se satisface en los escenarios del mundo real, si el intervalo de tiempo se selecciona de tal manera que la tasa sea aproximadamente constante, entonces la distribución exponencial se puede utilizar como un buen modelo aproximado. Tiene muchas otras aplicaciones en el campo de la física, hidrología, etc.

En estadística y teoría de la probabilidad, la expresión de distribución exponencial se refiere a la distribución de probabilidad que se utiliza para definir el tiempo entre dos eventos sucesivos que ocurren de forma independiente y continua a una tasa promedio constante. Es una de las distribuciones continuas más utilizadas y está estrictamente relacionada con la distribución de Poisson en Excel.