Fórmula de puntuación Z

Fórmula para calcular Z-Score

La puntuación Z de los datos brutos se refiere a la puntuación generada al medir cuántas desviaciones estándar por encima o por debajo de la media de la población están los datos, lo que ayuda a probar la hipótesis en consideración. En otras palabras, es la distancia de un punto de datos a la media poblacional que se expresa como un múltiplo de la desviación estándar.

• Las puntuaciones z varían en el rango de -3 veces la desviación estándar (extremo izquierdo de la distribución normal) a +3 veces la desviación estándar (extremo derecho de la distribución normal).
• Las puntuaciones z tienen una media de 0 y una desviación estándar de 1.

La ecuación para la puntuación z de un punto de datos se calcula restando la media poblacional del punto de datos (denominado x ) y luego el resultado se divide por la desviación estándar de la población. Matemáticamente, se representa como,

Puntuación Z = (x - μ) / ơ

dónde

• x = Punto de datos
• μ = Media
• ơ = Desviación estándar

Cálculo de la puntuación Z (paso a paso)

La ecuación para la puntuación z de un punto de datos se puede derivar mediante los siguientes pasos:

• Paso 1: en primer lugar, determine la media del conjunto de datos en función de los puntos de datos u observaciones que se denotan con x _i , mientras que el número total de puntos de datos en el conjunto de datos se indica con N.

• Paso 2: A continuación, determine la desviación estándar de la población sobre la base de la media poblacional μ, los puntos de datos x _i y el número de puntos de datos en la población N.

• Paso 3: Finalmente, la puntuación z se deriva restando la media del punto de datos y luego el resultado se divide por la desviación estándar como se muestra a continuación.

  

Ejemplos

Puede descargar esta plantilla de Excel de fórmula de puntuación Z aquí - Plantilla de Excel de fórmula de puntuación Z

Ejemplo 1

Tomemos el ejemplo de una clase de 50 estudiantes que redactaron el examen de ciencias la semana pasada. Hoy es el día de los resultados y el maestro de la clase dijo que John obtuvo 93 en la prueba, mientras que el puntaje promedio de la clase fue 68. Determine el puntaje z de la nota de John si la desviación estándar es 13.

Solución:

Dado,

• Puntuación de la prueba de John, x = 93
• Media, μ = 68
• Desviación estándar, ơ = 13

Por lo tanto, el puntaje z para el puntaje de la prueba de John se puede calcular usando la fórmula anterior como,

Z = (93 - 68) / 13

La puntuación Z será -

Puntuación Z = 1,92

Por lo tanto, la puntuación de la prueba Z de John es una desviación estándar de 1,92 por encima de la puntuación media de la clase, lo que significa que el 97,26% de la clase (49 estudiantes) obtuvo una puntuación menor que la de John.

Ejemplo # 2

Tomemos otro ejemplo detallado de 30 estudiantes (ya que la prueba z no es apropiada para menos de 30 puntos de datos) que se presentaron para una prueba de clase. Determine el puntaje de la prueba z para el cuarto estudiante de basado en las calificaciones obtenidas por los estudiantes de 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66 , 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.

Solución:

Dado,

• x = 65,
• 4to estudiante obtuvo = 65,
• Número de puntos de datos, N = 30.

Media = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30

Media = 71,30

Ahora, la desviación estándar se puede calcular utilizando la fórmula que se muestra a continuación,

ơ = 13,44

Por lo tanto, el puntaje Z del cuarto estudiante se puede calcular usando la fórmula anterior como,

Z = (x - x) / s

• Z = (65 –30) / 13,44
• Z = -0,47

Por lo tanto, el puntaje del cuarto estudiante es 0.47 desviación estándar por debajo del puntaje promedio de la clase, lo que significa que el 31.92% de la clase (10 estudiantes) obtuvo un puntaje menor que el cuarto estudiante según la tabla de puntaje z.

Puntaje Z en Excel (con plantilla de Excel)

Ahora, tomemos el caso mencionado en el ejemplo 2 para ilustrar el concepto de puntaje z en la plantilla de Excel a continuación.

A continuación se proporcionan datos para el cálculo de la puntuación Z

Puede consultar la hoja de Excel proporcionada a continuación para obtener el cálculo detallado de las estadísticas de prueba de fórmula de puntuación Z

Relevancia y usos

Desde la perspectiva de la prueba de hipótesis, la puntuación z es un concepto muy importante de entender porque se emplea para probar si una estadística de prueba cae o no en el rango de valor aceptable. El puntaje z también se usa para estandarizar los datos antes del análisis, calcular la probabilidad de un puntaje o comparar dos o más puntos de datos que son de diferentes distribuciones normales. Existen diversas aplicaciones de z-score en todos los campos si se aplica correctamente.