Fórmula para calcular la distribución T de Student
La fórmula para calcular la distribución T (que también se conoce popularmente como Distribución T de Student) se muestra restando la media de la población (media de la segunda muestra) de la media de la muestra (media de la primera muestra) que es [x-bar - μ] que luego se divide por la desviación estándar de las medias, que inicialmente se divide por la raíz cuadrada de n, que es el número de unidades en esa muestra [s ÷ √ (n)].
La distribución T es un tipo de distribución que se parece casi a la curva de distribución normal o curva de campana, pero con una cola un poco más ancha y corta. Cuando el tamaño de la muestra es pequeño, se utilizará esta distribución en lugar de la distribución normal.
Dónde,
- x̄ es la media muestral
- μ es la media de la población
- s es la desviación estándar
- n es el tamaño de la muestra dada
Cálculo de la distribución T
El cálculo de la distribución t de Student es bastante simple, pero sí, los valores son obligatorios. Por ejemplo, se necesita la media de la población, que es la media del universo, que no es más que el promedio de la población, mientras que la media de la muestra se requiere para probar la autenticidad de la media de la población si la afirmación declarada sobre la base de la población es realmente verdadera y la muestra, si es que se tomó alguna. representará la misma declaración. Entonces, la fórmula de distribución t aquí resta la media de la muestra de la media de la población y luego la divide por la desviación estándar y los múltiplos por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra para estandarizar el valor.
Sin embargo, dado que no hay un rango para el cálculo de la distribución t, el valor puede volverse extraño y no podremos calcular la probabilidad, ya que la distribución t de Student tiene limitaciones para llegar a un valor y, por lo tanto, solo es útil para tamaños de muestra más pequeños. Además, para calcular la probabilidad después de llegar a la puntuación, es necesario encontrar el valor de la tabla de distribución t de Student.
Ejemplos
Puede descargar esta plantilla de Excel de distribución T aquí - Plantilla de Excel de distribución TEjemplo 1
Considere las siguientes variables que se le dan:
- Media poblacional = 310
- Desviación estándar = 50
- Tamaño de la muestra = 16
- Media muestral = 290
Calcule el valor de distribución t.
Solución:
Utilice los siguientes datos para el cálculo de la distribución T.
Entonces, el cálculo de la distribución T se puede hacer de la siguiente manera:
Aquí se dan todos los valores, solo necesitamos incorporar los valores.
Podemos usar la fórmula de distribución t
Valor de t = (290-310) / (50 / √16)
Valor T = -1,60
Ejemplo # 2
La empresa de SRH afirma que sus empleados a nivel de analista ganan un promedio de $ 500 por hora. Se selecciona una muestra de 30 empleados a nivel de analista y sus ganancias promedio por hora fueron $ 450 con una desviación muestral de $ 30 y suponiendo que su afirmación sea cierta, calcule el valor de distribución t que se utilizará para encontrar la probabilidad de t - distribución.
Solución:
Utilice los siguientes datos para el cálculo de la distribución T.
Entonces, el cálculo de la distribución T se puede hacer de la siguiente manera:
Aquí se dan todos los valores, solo necesitamos incorporar los valores.
Podemos usar la fórmula de distribución t
Valor de t = (450 - 500) / (30 / √30)
Valor T = -9,13
Por tanto, el valor de la puntuación t es -9,13
Ejemplo # 3
La junta universitaria universal había administrado una prueba de nivel de CI a 50 profesores seleccionados al azar. Y el resultado que encontraron fue que el puntaje promedio del nivel de CI era 120 con una varianza de 121. Suponga que el puntaje t es 2.407. ¿Cuál es la media poblacional para esta prueba que justificaría el valor de la puntuación t como 2.407?
Solución:
Utilice los siguientes datos para el cálculo de la distribución T.
Aquí todos los valores se dan junto con el valor t, esta vez necesitamos calcular la media de la población en lugar del valor t.
Nuevamente, usaríamos los datos disponibles y calcularemos las medias poblacionales insertando los valores dados en la fórmula siguiente.
La media de la muestra es 120, la media de la población es desconocida, la desviación estándar de la muestra será la raíz cuadrada de la varianza, que sería 11 y el tamaño de la muestra es 50.
Entonces, el cálculo de la media poblacional (μ) se puede hacer de la siguiente manera:
Podemos usar la fórmula de distribución t
Valor de t = (120 - μ) / (11 / √50)
2,407 = (120 - μ) / (11 / √50)
-μ = -2,407 * (11 / √50) -120
La media poblacional (μ) será -
μ = 116,26
Por tanto, el valor de la media poblacional será 116,26
Relevancia y uso
La Distribución T (y los valores de las puntuaciones t asociadas) se utiliza en la prueba de hipótesis cuando se necesita averiguar si se debe rechazar o aceptar la hipótesis nula.
En el gráfico anterior, la región central será el área de aceptación y la región de la cola será la región de rechazo. En este gráfico, que es una prueba de 2 colas, el sombreado azul será la región de rechazo. El área en la región de la cola se puede describir con las puntuaciones t o con las puntuaciones z. Tome un ejemplo, la imagen de la izquierda representará un área en las colas del cinco por ciento (que es 2.5% en ambos lados). La puntuación z debe ser 1,96 (tomando el valor de la tabla z), que debe representar las desviaciones estándar de 1,96 del promedio o la media. La hipótesis nula puede rechazarse si el valor de la puntuación z es menor que el valor de -1,96 o el valor de la puntuación z es mayor que 1,96.
En general, esta distribución se utilizará como se describió anteriormente cuando se tenga un tamaño de muestra más pequeño (en su mayoría menor de 30) o si no se sabe cuál es la varianza o la desviación estándar de la población. Para fines prácticos (es decir, en el mundo real), este sería principalmente el caso. Si el tamaño de la muestra que se proporciona es lo suficientemente grande, entonces las 2 distribuciones serán prácticamente similares.
